Lieux avec module (1) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer les ensembles suivants.

1. \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z \right\vert=0 \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z-3i \right\vert= 2 \right\rbrace\)

3. \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z+3i \right\vert=4 \right\rbrace\)

4. \(\mathscr{E}_4=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z+2-3i \right\vert=1 \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text O\) le point du plan complexe d'affixes \(z_0 = 0\) .
Soit  \(z \in \mathbb{C}\) . On a : \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\left\vert z \right\vert = 5 \Longleftrightarrow \text O\text M = 0\end{align*}\)  
donc \(\mathscr{E}_1\)  est le point \(\text O\) .

2. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=2i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :  \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow\left\vert z-(2i) \right\vert = 2\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = 2\Longleftrightarrow \text A\text M = 2\end{align*}\)  
donc \(\mathscr{E}_2\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(2\) .

3. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=-2i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :  \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_3& \Longleftrightarrow\left\vert z-(-2i) \right\vert = 4\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = 4\Longleftrightarrow \text A\text M = 4\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(4\) .

4. On note \(\text A\)  le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=-2+3i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :  \(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_4& \Longleftrightarrow\left\vert z-(-2+3i) \right\vert = 1\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = 1\Longleftrightarrow \text A\text M = 1\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_4\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(1\) .